膜厚偏差会怎样改变滤光片：Fabry–Pérot 灵敏度分析

本篇接续用两面镜子选出一种颜色：Fabry–Pérot 窄带滤光片，沿用其中的 550 nm 对称 DBR—腔—DBR 结构。

窄带滤光片的腔层只偏差几纳米，透射峰就可能离开目标波长。这篇教程扫描 Fabry–Pérot 腔厚，量化峰位、半高全宽和 Q 因子的变化，并把光谱容差换算为膜厚公差。

本篇只改变中间 MgF₂ 腔层厚度。两面 DBR、材料折射率、入射角和波长采样全部固定，使峰位变化可以明确归因于腔厚。

腔厚改变每次往返积累的相位，因此会移动透射峰 (来源: Krishnavedala / Wikimedia Commons · 许可: CC0 1.0)

腔层和镜面共同决定峰位

法向入射时，腔内往返一周的相位条件为

$$ \Phi(\lambda,d_c) =\frac{4\pi n_cd_c}{\lambda} +\phi_f(\lambda)+\phi_b(\lambda) =2\pi m. $$

式中，$\Phi$ 为一周总相位，$\lambda$ 为真空波长，$n_c$ 和 $d_c$ 分别为腔层折射率和物理厚度，$\phi_f$、$\phi_b$ 为前后 DBR 的反射相位，$m$ 为正整数谐振级次。相位以弧度表示，$\lambda$ 与 $d_c$ 使用相同长度单位。

忽略两面 DBR 的反射相位时，一级谐振可简化为

$$ \lambda_{\mathrm{simple}}=2n_cd_c. $$

半波关系适合估算初始腔厚，也能预测“腔越厚，峰越向长波移动”。但 DBR 的反射相位随波长变化，实际灵敏度必须由完整膜系计算。

固定镜面与光学条件

沿用 550 nm Fabry–Pérot 滤光片：

区域	层序	重复次数
前镜	MgF₂ 99.64 nm / TiO₂ 56.12 nm	4
腔层	MgF₂ 199.28 nm	1
后镜	TiO₂ 56.12 nm / MgF₂ 99.64 nm	4
基底	玻璃 1 mm，非相干	1

灵敏度分析沿用的对称 Fabry–Pérot 结构

前镜和后镜的周期层序互为镜像。分别打开两个 Edit Group，确认 Repeat Count 都为 4。

前镜的 MgF₂/TiO₂ 周期单元

后镜的 TiO₂/MgF₂ 周期单元

警告

扫描期间不要修改 DBR 的层序、厚度或重复次数。镜面变化也会改变反射相位，使结果不再只表示腔厚灵敏度。

在 Optics 中设置 450–700 nm、0.25 nm 步长、0° 入射、未偏振光，并启用 Reflectance、Transmittance 和 Absorptance。

0.25 nm 步长用于测量窄透射峰

名义腔厚 199.28 nm 时，透射峰位于 550.00 nm，峰值透射率为 95.742%，半高全宽为 3.623 nm。1 nm 步长只能在峰宽内留下三到四个采样点，不足以可靠测量半高交点。

半高全宽（full width at half maximum，FWHM）和品质因子定义为

$$ \Delta\lambda=\lambda_R-\lambda_L, \qquad Q=\frac{\lambda_{\mathrm{peak}}}{\Delta\lambda}. $$

式中，$\lambda_L$ 和 $\lambda_R$ 为透射率下降到峰值一半时的左右交点波长，$\Delta\lambda$ 为 FWHM，$\lambda_{\mathrm{peak}}$ 为峰值波长，$Q$ 为无量纲品质因子。

扫描腔层厚度

在 Sweep 中选择 MgF2 Cavity → Thickness，从 190 nm 扫描到 210 nm，步长 5 nm。

提示

运行前先预测：腔厚增加时透射峰应向长波移动；若 DBR 反射相位不可忽略，实际斜率会偏离简单估算值 $2n_c$。

MgF₂ 腔厚扫描

运行扫描后，在 Transmittance 中比较五条曲线，并在 500–600 nm 内跟踪同一个腔模。

腔厚变化引起的透射峰漂移

腔厚	半波公式预测	仿真峰位	峰值 $T$	FWHM	Q
190 nm	524.39 nm	538.50 nm	95.514%	3.602 nm	149.5
195 nm	538.19 nm	544.75 nm	95.764%	3.596 nm	151.5
200 nm	551.99 nm	551.00 nm	95.355%	3.643 nm	151.2
205 nm	565.79 nm	557.00 nm	95.764%	3.686 nm	151.1
210 nm	579.59 nm	563.25 nm	95.642%	3.769 nm	149.4

腔厚增加 20 nm 后，透射峰向长波移动了 24.75 nm；峰值仍约为 95.4%–95.8%，FWHM 保持在 3.60–3.77 nm。这个范围内，腔厚主要移动峰位，没有显著破坏透射峰。

半波公式给出正确方向，但高估了实际峰位灵敏度

全部扫描结果的最大能量闭合误差小于 $1.0\times10^{-14}$。

从峰位漂移得到膜厚公差

对五个仿真点做线性拟合，得到当前设计附近的局部灵敏度

$$ S=\frac{\mathrm{d}\lambda_{\mathrm{peak}}}{\mathrm{d}d_c} \approx1.235\ \frac{\mathrm{nm}}{\mathrm{nm}}. $$

式中，$S$ 为峰位对腔厚的局部灵敏度，$\mathrm{d}\lambda_{\mathrm{peak}}$ 和 $\mathrm{d}d_c$ 分别为峰位与腔厚的微小变化。腔厚变化 1 nm，峰位在本设计附近约移动 1.24 nm。

半波公式给出的 $S_{\mathrm{simple}}=2n_c=2.760\ \mathrm{nm}/\mathrm{nm}$ 高出一倍以上，原因是它忽略了 DBR 的反射相位与等效穿透深度。

若峰位允许偏差为 $\Delta\lambda_{\mathrm{allow}}$，可估算腔厚偏差：

$$ |\Delta d_c|\leq\frac{\Delta\lambda_{\mathrm{allow}}}{S}. $$

式中，$\Delta d_c$ 为腔厚偏差，$\Delta\lambda_{\mathrm{allow}}$ 为允许的峰位偏差，$S$ 为上述局部灵敏度。

允许峰位偏差	腔厚偏差上限
±1 nm	约 ±0.81 nm
±2 nm	约 ±1.62 nm
±5 nm	约 ±4.05 nm

这是一项确定性的单参数灵敏度分析，不是随机误差或成品率计算。改变 DBR 周期数、材料、入射角或工作波长后，需要重新扫描并拟合 $S$。

设计判断

设计动作	主要影响	重新验收
调整腔厚	移动透射峰	峰位和膜厚公差
增加 DBR 周期数	通常使峰更窄	峰值、FWHM、Q 与吸收损耗
改变入射角	峰位发生角度漂移	使用角度与偏振
改用色散材料	光学厚度随波长变化	全波段峰位与线宽

名义设计命中 550 nm 只是第一步。可制造的滤光片还要把光谱规格转换成厚度规格，并确认沉积过程能够满足它。

变化题

把腔厚扫描改为 195–203 nm、步长 1 nm，其他设置不变。重新拟合名义厚度附近的 $S$，比较细扫结果与本篇五点拟合的 1.235 nm/nm 是否一致。

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