层数越多越好吗：比较二向色分光镜的性能与结构代价

本篇接续把蓝绿光和红光分开：设计 45° 二向色分光镜，沿用相同的材料、目标波段和 45° 入射条件。

为提高 45° 二向色分光镜的蓝绿反射，最直接的想法是增加 TiO₂/MgF₂ 周期数。但更多膜层也会增加总厚度，而且可能挤压红光透射和偏振性能，不能只凭层数判断设计优劣。

本教程将在相同材料、目标、厚度范围和算法下分别优化 4、6、8 对膜系。你将比较蓝绿反射、红光透射、偏振、总厚度和变量边界，并选择满足规格的最简结构。

不同的光谱选择会让干涉滤光片呈现不同的透射色与反射色 (来源: NASA / JPL / Wikimedia Commons · 许可: Public Domain (NASA))

先固定比较规则

三种候选只改变 Repeat Count，其余设置完全相同：

项目	统一设置
周期材料	TiO₂ / MgF₂
初始周期厚度	56 nm / 100 nm
周期数	4、6、8
入射条件	45°，未偏振光，pRatio=0.5
蓝绿目标	最大化 450–520 nm 平均反射率
红光目标	最大化 620–700 nm 平均透射率
TiO₂ 范围	25–80 nm
MgF₂ 范围	70–140 nm
教学规格	两个波段的未偏振平均值都不低于 90%

两个光学指标为

$$ \overline{R}B=\frac{1}{M_B}\sum{j=1}^{M_B}R(\lambda_j), \qquad \overline{T}R=\frac{1}{M_R}\sum{j=1}^{M_R}T(\lambda_j). $$

式中，$\overline{R}_B$ 为蓝绿波段平均反射率，$\overline{T}_R$ 为红光波段平均透射率，$R(\lambda_j)$ 和 $T(\lambda_j)$ 为波长 $\lambda_j$ 处的反射率和透射率，$j$ 为采样点序号，$M_B$ 和 $M_R$ 为两个波段的采样点数。

若每个周期由一层高折射率材料 H 和一层低折射率材料 L 组成，周期数为 $N$，则膜层数和涂层总厚度为

$$ L_N=2N, \qquad D_N=N(d_H+d_L). $$

式中，$L_N$ 为膜层数，$D_N$ 为不含基底的涂层总物理厚度，$d_H$ 和 $d_L$ 分别为单个 TiO₂ 层和 MgF₂ 层的厚度，单位为 nm。

提示

运行前先预测：8 对结构可能具有最高的蓝绿反射率，但它的红光透射率、偏振表现和总厚度未必更好。

用共同起点建立三个候选结构

入射介质为空气；涂层下方是 1 mm 非相干玻璃基底，底部介质折射率为 1.52。三个候选都从 TiO₂ 56 nm / MgF₂ 100 nm 开始，只改变 Repeat Count。

候选	Repeat Count	TiO₂ 初始厚度	MgF₂ 初始厚度
4 对	4	56 nm	100 nm
6 对	6	56 nm	100 nm
8 对	8	56 nm	100 nm

每次运行优化前，都要恢复这组共同初始厚度。否则后一种候选会沿用前一种候选的最优解，比较结果不再具有相同起点。

分别优化，而不是直接比较初始结构

在 Optics 中设置 400–750 nm、1 nm 步长、45° 和未偏振光。Optimizer 中加入两个等权目标：

1. 450–520 nm、5 nm 步长，最大化平均 Reflectance；
2. 620–700 nm、5 nm 步长，最大化平均 Transmittance。

每个候选都只使用周期内 TiO₂ 和 MgF₂ 两个共享厚度变量。算法统一使用 Nelder–Mead，最多 280 次计算，初始单纯形比例为 0.08。

三种候选共用的双波段目标与厚度变量

图 1 中的两个目标分别约束蓝绿反射和红光透射；两个变量控制周期单元中的 TiO₂ 与 MgF₂ 厚度。比较不同周期数时，目标、变量范围和权重都保持不变。

三种候选共用的 Nelder–Mead 算法设置

三次优化使用相同的算法和计算次数上限，避免把搜索条件差异误认为周期数带来的性能差异。

分别运行三次优化并检查 Optimization Report。优化使用 5 nm 目标采样，最终验收使用 1 nm 光谱，因此报告值与最终表格会有轻微差异。

4 对候选的优化报告

4 对候选的两个最优厚度都位于允许范围内部，可以直接应用到结构并进行细步长验收。

6 对候选的优化报告

6 对候选把 TiO₂ 厚度推到 25 nm 下限。报告给出的目标值仍需结合变量触边情况和最终 1 nm 光谱判断。

8 对候选的优化报告

8 对候选的 TiO₂ 和 MgF₂ 分别停在下限与上限。目标函数虽然已经收敛，但当前厚度范围限制了进一步取舍。

应用最优解并核对结构

在每份报告中点击 Apply to Structure，再以 1 nm 步长运行正向计算。三种候选得到的周期厚度为：

周期数	TiO₂ 最优厚度	MgF₂ 最优厚度	膜层数	涂层总厚度
4	32.555 nm	130.787 nm	8	653.37 nm
6	25.000 nm	137.618 nm	12	975.71 nm
8	25.000 nm	140.000 nm	16	1320.00 nm

每种 Layer Group 的周期数和最优厚度都不同。分别检查 Structure 总览并打开 Edit Group，确认组名、Repeat Count、层序和材料参数。

4 对候选

应用最优解后的 4 对候选结构

结构总览中只保留一个周期层组，Repeat Count 为 4，对应 8 层功能膜。总厚度 653.37 nm，是三个候选中最薄的结构。

4 对结构的优化后 TiO₂/MgF₂ 周期单元

层组内的 TiO₂ 和 MgF₂ 厚度分别为 32.555 nm 和 130.787 nm，两个变量都没有停在允许范围的边界。

6 对候选

应用最优解后的 6 对候选结构

把周期数增加到 6 后，功能膜增至 12 层，总厚度增至 975.71 nm。层数增加并没有改变高、低折射率层交替的基本结构。

6 对结构的优化后 TiO₂/MgF₂ 周期单元

优化后的 TiO₂ 厚度为 25.000 nm，已经达到允许范围下限；MgF₂ 厚度为 137.618 nm。这个边界状态需要与最终光谱一起判断。

8 对候选

应用最优解后的 8 对候选结构

8 对候选包含 16 层功能膜，总厚度达到 1320.00 nm，约为 4 对候选的两倍。

8 对结构的优化后 TiO₂/MgF₂ 周期单元

TiO₂ 停在 25.000 nm 下限，MgF₂ 停在 140.000 nm 上限。两个变量同时触边，说明当前周期结构已经难以在既定厚度范围内继续协调两个目标波段。

同时比较性能、厚度和边界

周期数	蓝绿平均 $R$	蓝绿最低 $R$	红光平均 $T$	红光最低 $T$	总厚度	变量触边
4	91.228%	87.100%	91.160%	78.693%	653.37 nm	无
6	91.824%	75.787%	90.915%	76.209%	975.71 nm	TiO₂ 达到下限
8	96.332%	81.602%	87.882%	81.419%	1320.00 nm	TiO₂ 达到下限，MgF₂ 达到上限

三种结构都在应用最优厚度后重新用 1 nm 步长运行。反射率曲线直接显示：周期数增加会抬高蓝绿波段的平均反射，却不会自动消除过渡区起伏，也不会保证红光区域的反射继续下降。

4 对：两个波段都达到平均值规格

4 对候选的最终反射率光谱

4 对结构的蓝绿平均反射率为 91.228%，红光平均透射率为 91.160%，两个平均值都通过 90% 教学规格。蓝绿最低反射率为 87.100%，也说明平均值不能代表波段内每个波长。

6 对：平均值略升，波段内最低值反而下降

6 对候选的最终反射率光谱

6 对结构的蓝绿平均反射率提高到 91.824%，但最低反射率降至 75.787%；红光平均透射率为 90.915%。相比 4 对结构，增加两对膜层只带来约 0.60 个百分点的蓝绿平均反射增益。

8 对：蓝绿反射更高，红光透射未通过规格

8 对候选的最终反射率光谱

8 对结构把蓝绿平均反射率提高到 96.332%，但红光平均透射率降至 87.882%。更多周期增强了一个目标波段，却使另一个目标波段无法通过 90% 规格。

把光学性能和结构代价放在一起

增加周期数没有同时改善两个目标波段

综合图把两个平均光学指标与总厚度放在同一处比较。4 对和 6 对都通过双波段平均值规格，但 6 对的总厚度增加约 49%；8 对最厚，而且红光平均透射率低于规格。因此，周期数增加并不等于整体设计更优。

变量触边并不是计算错误。它表示在当前目标和结构下，优化器仍希望继续减小 TiO₂ 或增加 MgF₂。若边界来自实际工艺，正确做法是调整结构自由度或目标权重，而不是忽略边界继续比较目标函数数值。

三种无损结构的最大能量闭合误差不超过 $4.9\times10^{-15}$。

未偏振平均值不能代替偏振验收

保持 45° 入射，把 pRatio 分别改为 0 和 1，检查纯 s 和纯 p 偏振。

周期数	s：蓝绿平均 $R$	p：蓝绿平均 $R$	s：红光平均 $T$	p：红光平均 $T$
4	97.720%	84.737%	86.559%	95.762%
6	98.820%	84.828%	84.763%	97.067%
8	99.806%	92.857%	82.437%	93.327%

增加周期数提高了部分偏振指标，却没有同时改善所有目标。若规格要求“任一偏振、任一目标波长都不低于阈值”，三种候选都应按最低值重新验收，并把 s、p 分别加入优化目标。

选择满足规格的最简结构

在本教程的规格下，4 对结构同时满足两个波段平均值不低于 90%，具有最少层数、最小总厚度，而且变量没有触边，因此是首选。

这个结论只适用于当前材料、波段、角度、目标权重和厚度范围。若蓝绿平均反射率必须超过 95%，8 对更接近该目标，但必须重新解决红光透射不足和变量触边。

变化题

从 56/100 nm 的共同起点建立 5 对结构，保持目标、边界和算法不变并重新优化。将结果插入 4/6/8 对比较表，判断五对结构能否用小于六对的总厚度通过两个 90% 平均值规格。

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