Ψ 和 Δ 如何辨认薄膜变化：椭偏测量入门

同一片透明薄膜的反射率变化可能很小，但反射光的偏振状态已经发生明显变化。椭偏测量正是利用这种变化，通过 Ψ 和 Δ 同时读取 p、s 偏振反射的振幅比与相位差。

这篇教程用空气 / SiO₂ / Si 结构建立第一套椭偏模型，再把 SiO₂ 厚度从 50 nm 扫描到 150 nm。读完后，你可以设置椭偏计算、读懂 Ψ/Δ 曲线，并判断哪些波段对膜厚变化更敏感。

实验室中的椭偏仪实物，光源和探测臂位于样品台两侧

椭偏仪通过斜入射反射测量样品对偏振状态的改变 (来源: Guillaume Paumier / Wikimedia Commons · 许可: CC BY-SA 3.0)

Ψ 和 Δ 的定义

入射光可分解为平行入射面的 p 偏振和垂直入射面的 s 偏振。样品对两种偏振的复振幅反射系数分别为 $r_p$ 和 $r_s$，椭偏比定义为

$$ \rho=\frac{r_p}{r_s}=\tan\Psi,\exp(\mathrm{i}\Delta). $$

式中，$\rho$ 为复椭偏比，$r_p$ 和 $r_s$ 分别为 p、s 偏振的复振幅反射系数，$\Psi$ 表示两者振幅比，$\Delta$ 表示两者相位差，$\mathrm{i}$ 为虚数单位。Ψ 与 Δ 一起使用，才能完整描述反射后偏振椭圆的变化。

光源偏振器样品补偿器检偏器和探测器组成的椭偏测量示意图

典型椭偏测量光路：已知偏振光经样品反射后进入偏振分析与探测系统 (来源: Buntgarn、Stannered / Wikimedia Commons · 许可: CC BY-SA 3.0)

椭偏测量通常在斜入射下进行，因为 p、s 偏振的反射差异更明显。薄膜厚度或折射率改变时，膜内相位厚度随之变化，Ψ 和 Δ 的谱线也会移动或改变形状。

建立 SiO₂ / Si 模型

建立空气 / SiO₂ / Si 结构。SiO₂ 使用波长相关光学常数，厚度为 100 nm；硅作为半无限底部介质，不再额外建立一层毫米级相干薄膜。

位置	材料	设置
顶部介质	空气	$n=1.00$、$k=0$
薄膜	SiO₂	100 nm，波长相关折射率
底部介质	Si	波长相关复折射率

空气中 100 nm SiO2 薄膜位于硅底部介质上的结构设置

100 nm SiO₂ / Si 椭偏模型

设置斜入射椭偏计算

在 Optics 页设置 400–800 nm、2 nm 步长和 70° 入射，启用 Psi 与 Delta。椭偏参数由 p、s 反射系数之比计算，不需要把 pRatio 当作实验偏振器角度来扫描。

400 到 800 nm 70 度入射并启用 Psi 和 Delta 的光学设置

椭偏光谱的波长、入射角与探测器设置

读取 100 nm 薄膜的 Ψ 和 Δ

运行计算后，先打开 Psi。

100 nm SiO2 薄膜在硅上的 Psi 椭偏光谱

100 nm SiO₂ / Si 的 Ψ 光谱

Ψ 表示 p、s 反射振幅比的变化。100 nm 薄膜在 550 nm 处的 Ψ 约为 0.906 rad（51.90°），曲线峰形来自薄膜干涉与硅基底的复折射率共同作用。

100 nm SiO2 薄膜在硅上的 Delta 椭偏光谱

100 nm SiO₂ / Si 的 Δ 光谱

Δ 表示 p、s 反射相位差。550 nm 处的 Δ 约为 1.653 rad（94.70°）。结果页采用主值范围显示相位；曲线跨过范围边界时可能从正值跳到负值，这属于相位包裹，不代表样品响应发生物理突变。

扫描膜厚与曲线移动

在 Sweep 页加入 SiO2 Film → Thickness，从 50 nm 扫描到 150 nm，步长 25 nm。

SiO2 膜厚从 50 到 150 nm 步长 25 nm 的参数扫描

SiO₂ 膜厚扫描设置

五种 SiO2 膜厚对应的 Psi 椭偏光谱

SiO₂ 膜厚改变时的 Ψ 光谱

膜厚从 50 nm 增加到 150 nm 时，Ψ 的峰值逐步向长波移动。不同厚度的曲线并不是简单上下平移；峰位和线形都在变化，因此整段光谱比单个波长提供更多膜厚信息。

五种 SiO2 膜厚对应的 Delta 椭偏光谱

SiO₂ 膜厚改变时的 Δ 光谱

Δ 对膜厚同样敏感，而且相位包裹位置会随厚度移动。比较或拟合曲线时，应使用一致的相位表示方式，不能把 $2\pi$ 等价相位之间的跳变直接当作巨大误差。

550 nm 处的结果可压缩为：

SiO₂ 厚度	Ψ	Δ
50 nm	25.98°	87.17°
75 nm	35.37°	98.02°
100 nm	51.90°	94.70°
125 nm	83.94°	−42.83°
150 nm	48.22°	−96.36°

125 nm 与 150 nm 的负 Δ 来自主值范围选择。若将相位展开，它们可分别写成等价的 317.17° 与 263.64°。

从正向模型进入膜厚测量

这次扫描建立了最基本的椭偏判断：不同膜厚会产生可区分的 Ψ/Δ 光谱。实际测量时，需要把实测曲线与包含材料光学常数、表面层和膜厚变量的模型比较，再以 Ψ 与 Δ 的共同残差判断参数。

只看 Ψ 可能遗漏相位信息，只看 Δ 也可能遇到相位包裹歧义。两条曲线应共同使用，并优先选择对目标参数敏感、同时具有可靠材料数据的波段。本教程完成的是正向灵敏度分析，不是对实测数据的自动反演。

变化题

保持 SiO₂ 为 100 nm，把入射角从 60° 扫描到 75°，步长 5°。比较 550 nm 附近 Ψ 和 Δ 的变化，判断 70° 是否比 60° 更容易区分 75 nm 与 100 nm 薄膜。

继续深入

本教程只覆盖操作步骤。物理原理、每项功能的完整参数、结果的解读方式，以及算法验证，都在文档站：

传递矩阵法原理 — 教程背后的物理与公式
功能指南 — 每个界面与参数的完整说明
结果分析 — 各类结果的读法与判断依据
打开 Dreapex TMM — 在浏览器中直接建模计算