第一次薄膜设计：从裸玻璃到宽带减反膜

为什么左半边镜片映出了明亮的灯光，右半边却像没有镜片？右半边表面的减反膜没有吸收这些光，而是让两束反射光彼此削弱，使更多光进入镜片。

左半边为普通镜片，右半边为减反镜片 (来源: Maximilian Schönherr / Wikimedia Commons · 许可: CC0 1.0)

这篇教程面向第一次学习薄膜设计的读者。你会先算出裸玻璃的反射率，再用一层 MgF₂ 膜降低 550 nm 的反射，最后把低反射范围扩展到 450–650 nm，并学习用优化器调整四层膜的厚度。

先算出裸玻璃的反射

空气和玻璃的折射率不同，所以即使没有任何膜层，玻璃表面也会反光。光从空气垂直入射到玻璃时，反射率为

$$ R=\left(\frac{n_g-n_0}{n_g+n_0}\right)^2 . $$

式中，$R$ 为功率反射率，$n_0$ 为空气折射率，$n_g$ 为玻璃折射率。代入 $n_0=1.00$、$n_g=1.52$，得到

$$ R=4.258% . $$

在 Structure 页把顶部介质设为空气，在下方放置 1 mm 玻璃基底，并把底部介质同样设为玻璃。

裸玻璃反射基线的结构设置

1 mm 玻璃基底应设为非相干层。这里的目标是计算镜片表面反射，不是把毫米级玻璃当作会形成稳定干涉条纹的薄膜。

在 Optics 页设置 400–700 nm、1 nm 步长、0° 入射和未偏振光，并启用 Reflectance 与 Transmittance。这组光学设置也用于下一步的单层减反膜。

裸玻璃与单层减反共用的光学设置

点击 Run，裸玻璃的反射率曲线在整个波段保持 4.258%，透射率为 95.742%。

裸玻璃的反射率结果

用一层膜让反射光彼此削弱

在玻璃表面增加一层透明薄膜后，会出现两束主要反射光：一束在空气与薄膜的界面返回，另一束进入薄膜，在薄膜与玻璃的界面反射后再返回空气。

减反膜上下表面产生的两束反射光 (来源: Chanli44 / Wikimedia Commons · 许可: Public Domain)

如果薄膜中的往返光程正好等于半个设计波长，第二束光返回时会比第一束光晚半个周期，两束反射光便会相互削弱。对应的四分之一波厚度为

$$ d=\frac{\lambda_0}{4n_1} . $$

式中，$d$ 为薄膜的物理厚度，$\lambda_0$ 为真空中的设计波长，$n_1$ 为薄膜折射率。选择 MgF₂，取 $\lambda_0=550\ \mathrm{nm}$、$n_1=1.38$，得到

$$ d=99.64\ \mathrm{nm} . $$

在玻璃基底上方加入 99.64 nm MgF₂，其他设置保持不变。

99.64 nm MgF₂ 单层减反结构

再次点击 Run。反射率曲线在 550 nm 附近形成最低点，550 nm 反射率从裸玻璃的 4.258% 降到 1.260%。

单层 MgF₂ 减反膜的反射率结果

设计	550 nm 反射率
裸玻璃	4.258%
99.64 nm MgF₂ / 玻璃	1.260%

为什么没有降到零？四分之一波厚度解决的是两束光的相位关系；完全相消还要求两束光的振幅相等。单层减反的理想折射率为

$$ n_1=\sqrt{n_0n_g}=1.233 . $$

MgF₂ 的折射率为 1.38，与理想值并不相同，因此它能明显减反，但不能在 550 nm 实现严格的零反射。

从一个波长扩展到一段波长

单层膜只围绕 550 nm 调整相位。镜头、显示盖板和光伏玻璃通常需要在一段可见光范围内都保持低反射，因此下一步使用四层 MgF₂/TiO₂ 结构，把设计目标扩展到 450–650 nm。

本文使用便于手算的无吸收常数折射率：空气 1.00、玻璃 1.52、MgF₂ 1.38、TiO₂ 2.45。真实镀膜设计还需要换成工艺材料的 n、k 光谱。

初始膜层从空气侧到玻璃侧依次为：

膜层	材料	初始厚度
1	MgF₂	99.64 nm
2	TiO₂	112.24 nm
3	MgF₂	24.91 nm
4	TiO₂	14.03 nm
基底	玻璃	1 mm，非相干

在 Optics 页设置 400–700 nm、1 nm 步长、0° 入射和未偏振光，并启用 Reflectance 与 Transmittance。计算范围比目标波段稍宽，可以同时看见 450–650 nm 内部和两侧边缘的变化。

宽带减反膜的光学设置

先别急着运行。你预计四层初始结构会比单层 MgF₂ 的平均反射率更低，但曲线仍会有起伏。点击 Run 后，四层初始结构在 550 nm 的反射率为 0.341%，450–650 nm 平均反射率为 0.648%。

设计	550 nm 反射率	450–650 nm 平均反射率
单层 MgF₂	1.260%	1.348%
四层初始结构	0.341%	0.648%

四层膜已经改善了整个波段，但还没有达到平均反射率低于 0.1% 的目标。

让优化器逐次试厚度

四个膜层就有四个可调厚度，手工逐项尝试很快会变得低效。Optimizer 会在你规定的范围内反复改变厚度，每次重新计算光谱，并用 450–650 nm 的平均反射率为这一组厚度打分。它不会替你选择材料或增加膜层；结构、目标和可调参数仍由你定义。

在 Optimizer 页加入一个目标：450–650 nm、5 nm 步长、0°、未偏振条件下，最小化平均 Reflectance。再把四层厚度设为变量：

膜层	初始厚度	优化器可以尝试的范围
MgF₂ 1	99.64 nm	85–115 nm
TiO₂ 1	112.24 nm	95–135 nm
MgF₂ 2	24.91 nm	15–40 nm
TiO₂ 2	14.03 nm	5–25 nm

宽带反射目标与四个厚度变量

算法选择 Nelder–Mead，最大计算次数设为 400，初始单纯形比例设为 0.08。Nelder–Mead 不需要计算梯度，而是比较多组厚度的目标值，适合这个只有四个连续变量的入门问题。

Nelder–Mead 算法设置

点击 Optimize。本次计算经过 174 次目标计算、101 次迭代后得到下表结果。现在才把初始厚度与优化结果放在一起比较：

膜层	初始厚度	优化后厚度
MgF₂ 1	99.64 nm	97.373 nm
TiO₂ 1	112.24 nm	116.149 nm
MgF₂ 2	24.91 nm	37.769 nm
TiO₂ 2	14.03 nm	11.108 nm

点击 Apply to Structure，回到 Structure 页确认四个厚度已经写入，再用 1 nm 步长运行一次正向计算。优化时使用 5 nm 采样以减少计算量，最终验收使用更细的 1 nm 采样，所以两个页面显示的平均值可能略有差别。

应用优化结果后的四层宽带减反结构

优化结果与目标对照

优化后的 450–650 nm 平均反射率为 0.0865%，低于 0.1% 的目标；550 nm 反射率为 0.00110%。该波段内的最大反射率为 0.5005%，出现在 450 nm。

四层优化结构的反射率结果

四层优化结构的透射率结果

400 nm 处的反射率会升至 6.924%。这不是计算失败，而是设计目标只约束了 450–650 nm；优化器不会自动改善目标范围之外的波长。

从裸玻璃到四层宽带减反膜的结果对比

设计	550 nm 反射率	450–650 nm 平均反射率
裸玻璃	4.258%	4.258%
单层 MgF₂	1.260%	1.348%
四层初始结构	0.341%	0.648%
四层优化结构	0.00110%	0.0865%

所有材料在这个教学模型中都没有吸收，因此结果应满足 $R+T=1$。反射率降低的能量会转化为透射光，而不是凭空消失。

自己改变一个厚度

把四层膜恢复为初始厚度，只将第一层 MgF₂ 依次改为 90、99.64 和 110 nm。每次运行前先预测反射谷会向短波还是长波移动，再比较 550 nm 反射率和 450–650 nm 平均反射率。这个实验可以直接看出：最适合单个波长的厚度，不一定最适合整个波段。

工程设计的下一步，是把常数折射率替换为工艺材料的 n、k 光谱，并重新检查入射角、偏振和膜厚误差。

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